사각 피라미드 퍼즐(1)

사각 피라미드 퍼즐이란 게 있습니다. (Lucas problem 혹은 cannonball problem이라고도 한다는군요.)

애기똥풀님 블로그에 갔더니 이 문제가 올라와 있어서, 포스팅 해봅니다.

일단 문제.

$1^2 + 2^2 + \cdots + x^2 = y^2$ 의 자연수해를 찾아라.

일단 고등학교(중학교?)때 배우는 다음 식을 이용해서,

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

문제를 바꿔서 쓸 수 있습니다.

$y^2 = \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$

우변이 x에 관한 3차식으로, 중근을 갖지 않기 때문에, 이식은 타원곡선이 됩니다. (제가 씨앗을 뿌리고 농사짓는 밭이죠-_-) Siegel의 정리에 따르면, 유리수에서 정의된(계수들이 전부 유리수라는 뜻) 타원곡선위의 정수해는 유한개 뿐입니다. 물론 그 정수해를 찾는 것은 어려운 일이죠.

일반적인 다항식의 정수해를 찾는 것은 몹시 어려운 문제이지만, 타원 곡선은 특별한 성질을 가진 곡선인 덕분에(일단 군..) 많은 연구가 이루어져 있고 우리는 그 결과들을 공짜로(!) 이용할 수 있습니다. 이를테면 유리수해 둘이 있으면 그 둘을 더해서 새로운 해를 찾을 수 있죠. 사람 손으로도(머리가 아니라-_-) 할 수 있게 공식이 다 알려져 있습니다. 보통 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 같은 꼴의 타원 곡선에 대해서 공식을 만드니, 식을 일단 이 형태로 바꿉니다. $y^2$ 과 $x^3$ 의 계수를 맞추기 위해서

$x_1 = 3x, y_1 = 9y$ 를 써서 $y_1^2 = x_1^3 + 9/2 x_1^2 +9/2 x_1$ 로 변환을 합니다.

그 다음은 $x^2$ 항을 없애줍니다.

$x_2=x_1 +3/2, y_2=y_1$ 를 써서 $y_2^2=x_2^3 - 9/4x_2$ .

정수 계수를 가지는 게 멋있으니까,

$x_2=x_3/4, y_2=y_3/8$ 를 써서 $y_3^2=x_3^2-36x_3$ ….(이 마지막 변환은 좀 특별해요-_-)

결국 $x=(x_3 - 6)/12, y=y_3/72$ 를 써서, 식을 좀 예쁘게(?) 바꿨네요. x,y가 정수라면, $x_3, y_3$ 도 정수해가 되니, 새로운 타원곡선의 정수해를 일단 다 찾으면 되겠습니다 휴우-

덧. 좀 있으면 새벽 1시라, 일단 여기서 끊고 저는 이만;; 근데 수식이 이렇게 있으니 꼭 수학블로그 같군요(먼산)
덧덧. <브로콜리 너마저>의 <보편적인 노래> 좋군요. 이런 보편적인(universal) 노래에서 감동을 받는 것은 역시 제가 가지고 있는 추억들nontrivial example 떄문이랄까. 역시 example은 중요합니다(+_+a)

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이 엔트리는 , 일요일, 1월 11th, 2009, 4:56 pm에 게시되었으며 Math에 분류되었습니다. RSS 2.0 피드를 통해 이 엔트리에 대한 응답을 팔로우할 수 있습니다. 귀하의 사이트에서 응답 또는 트랙백trackback을 남길 수 있습니다.