[근황] Log, love of girl

2월 8, 2009

요즘  MSRI에서 1학기 짜리 대수기하 관련 세미나가 다수 진행중입니다.

그중의 하나인 log geometry 세미나도 이번 목요일부터 시작했는데, organizing meeting에서 D. Abramovich가

(외계인) 일본 수학자 카즈야 카토 가  쓴 에(공저자:Sampei Usui) 이런 얘기가 있다고 소개했습니다. (믿거나 말거나)

<미녀와 야수>에서 야수가 미녀의 사랑으로(Love Of Girl) 사람이 되듯이

(야수) \xrightarrow{L.O.G.} (사람)

Log structure는 찌그러진 녀석(?)을 부드러운 녀석으로(log smooth) 바꿔준다.

(degenerated object) \xrightarrow{log} (Nice object)

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재밌는 문제?

1월 24, 2009

재밌는 문제?

Find monic irreducible polynomials with coefficients in \mathbb{Z} that factor modulo p for all prime number p.

모든 소수에 p 대해서 p를 법으로(modulo) 기약이 아닌, 정수 계수를 가지는 기약 다항식을 찾아보세요.


논문 정리는 어떻게 하시나요? ZOTERO

1월 13, 2009

몹시 뒷북이겠지만, pdf 화일 관리는 어떻게들 하고 계신가요?

Zotero (…)라고 Firefox add on이 있던데..

http://cliomedia.egloos.com/1156451

http://cliomedia.egloos.com/1859874


사각 피라미드 퍼즐(1)

1월 11, 2009

사각 피라미드 퍼즐이란 게 있습니다. (Lucas problem 혹은 cannonball problem이라고도 한다는군요.)

애기똥풀님 블로그에 갔더니 이 문제가 올라와 있어서, 포스팅 해봅니다.

일단 문제.

1^2 + 2^2 + \cdots + x^2 = y^2 의 자연수해를 찾아라.

일단 고등학교(중학교?)때 배우는 다음 식을 이용해서,

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

문제를 바꿔서 쓸 수 있습니다.

y^2 = \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}

우변이 x에 관한 3차식으로, 중근을 갖지 않기 때문에, 이식은 타원곡선이 됩니다. (제가 씨앗을 뿌리고 농사짓는 밭이죠-_-) Siegel의 정리에 따르면, 유리수에서 정의된(계수들이 전부 유리수라는 뜻) 타원곡선위의 정수해는 유한개 뿐입니다. 물론 그 정수해를 찾는 것은 어려운 일이죠.

일반적인 다항식의 정수해를 찾는 것은 몹시 어려운 문제이지만, 타원 곡선은 특별한 성질을 가진 곡선인 덕분에(일단 군..) 많은 연구가 이루어져 있고 우리는 그 결과들을 공짜로(!) 이용할 수 있습니다. 이를테면 유리수해 둘이 있으면 그 둘을 더해서 새로운 해를 찾을 수 있죠. 사람 손으로도(머리가 아니라-_-) 할 수 있게 공식이 다 알려져 있습니다. 보통 y^2 = x^3 + Ax + B같은 꼴의 타원 곡선에 대해서 공식을 만드니, 식을 일단 이 형태로 바꿉니다. y^2x^3의 계수를 맞추기 위해서

x_1 = 3x, y_1 = 9y를 써서 y_1^2 = x_1^3 + 9/2 x_1^2 +9/2 x_1로 변환을 합니다.

그 다음은 x^2항을 없애줍니다.

x_2=x_1 +3/2, y_2=y_1를 써서y_2^2=x_2^3 - 9/4x_2.

정수 계수를 가지는 게 멋있으니까,

x_2=x_3/4, y_2=y_3/8를 써서 y_3^2=x_3^2-36x_3….(이 마지막 변환은 좀 특별해요-_-)

결국 x=(x_3 - 6)/12, y=y_3/72를 써서, 식을 좀 예쁘게(?) 바꿨네요. x,y가 정수라면, x_3, y_3도 정수해가 되니, 새로운 타원곡선의 정수해를 일단 다 찾으면 되겠습니다 휴우-

덧. 좀 있으면 새벽 1시라, 일단 여기서 끊고 저는 이만;; 근데 수식이 이렇게 있으니 꼭 수학블로그 같군요(먼산)
덧덧. <브로콜리 너마저>의 <보편적인 노래> 좋군요. 이런 보편적인(universal) 노래에서 감동을 받는 것은 역시 제가 가지고 있는 추억들nontrivial example 떄문이랄까. 역시 example은 중요합니다(+_+a)


[파스칼 삼각형]

11월 11, 2008

제가 다니는 학교 수학과 휴게실에는 아래와 같은 예술 작품이(?) 걸려있습니다.

휴게실에 들락날락하면서 많이 보면서도, ‘그저 심심한 사람이 종이접기 했구나’ 싶었는데
친구 중에 한명이 저게 실은 파스칼 삼각형이라고 알려주더군요.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 5 10 1

숫자는 적혀있지 않지만, 다섯가지 색깔이 각각 5로 나눈 나머지에 해당됩니다.

테두리를 둘러싸고 있는 옅은 푸른빛 녹색(?)은 5로 나눈 나머지가 1인경우
연두색은 5로 나눈 나머지가 2인 경우.
파란색은 5로 나눈 나머지가 3인 경우.
회색(?)은 5로 나눈 나머지가 4인 경우.
그리고 빨간색은 5로 나눈 나머지가 0인 경우- 즉 5의 배수에 해당되는 숫자들입니다.

첫번째 사진을 보면 빨간 삼각형이 10개가 피라미드 모양으로 나타나고,
맨 마지막 줄이 빨간색이니
그 다음줄 부터는 지금까지 나온 빨간 삼각형(?)의 다섯배쯤 되는 삼각형이 나타나겠군요.

프랙탈이 생각나십니까?

위키피디아에서 파스칼 삼각형을 찾아보니
정말 유명한 프랙탈 도형인 시에르핀스키삼각형과 관련이 있네요.

5로 나눈 나머지 대신 2로 나눈 나머지를 생각하고 행의 수를 무한대로 보내면 시에르핀스키삼각형를 얻을 수 있다는 군요.

>_<

실은 블로그를 너무 방치해둔 것 같아서 사진으로 한번 때워볼까 하고 들어왔습니다. 잠잘 시간이라 저는 이만..


010212의 신비

9월 5, 2008

요즘 여러 블로그에서 142857이 유행하는 것 같아- 사실은 두개 뿐이지만..

애기똥풀님 블로그

피타고라스의 창

유행에 편승해서 글 한번 올려봅니다;

1/7을 계산하되 10진법이 아니고 3진법으로 나눗셈을 했습니다.

1/7 = 0.010212 010212 .....

10진법에서와 마찬가지로 순환마디가 나타났습니다.

자 이제,

010212에 1부터 6까지 차례대로 곱해볼까요?

010212 \times 1 =010212
010212 \times 2 =021201
010212 \times 3 =102120
010212 \times 4 =120102
010212 \times 5 =201021
010212 \times 6 =212010

그러면 010212 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도(?) 222222입니다(물론 3진법)

ㅋㅋ

게다가 010 +212 =222 이고

01 + 02 + 12 = 22 입니다.

3과 10의 공통점은 무엇일까요? 그건 바로 소수 7로 둘다 원시근이라는 것(Primitive root)

이어지는 얘기는 애기똥풀님이..?


[수학과 속담] 콩 심은 데 콩 나고 팥 심은 데 팥 난다.

7월 31, 2008

앞으로 생각날 때마다 조상님들(선배님들?)의 지혜가 담긴 속담을 기록으로 남겨보려고 해요.  첫번째 속담은 ‘콩 심은 데 콩 나고 팥 심은 데 팥 난다’예요.

속담: 콩 심은 데 콩 나고 팥 심은 데 팥 난다.

수학과 해석: 함수를 살펴보면 함수가 정의된 공간의 성질을 알 수 있다. 즉 “공간의 성질은 함수로부터 나온다“(ㅎㅈ)

함수 공간을(콩나무) 가지고 원래 함수가 정의된 공간을(땅) 복원하는 첫번째 예는 선형대수학 시간에 나와요. 바로 dual vector space예요.

(V^*)^* \cong V

즉, 유한 차원 벡터 스페이스에 정의된 함수들(linear functional)을 가지고, 벡터 스페이스를 복원할 수 있다는 거.

이 밖에 다른 예로,  코호몰로지를 공부하는 것, R-Module category를 가지고 Ring R을 복원하는 것, QCoh(X)를 가지고 X의 성질을 알아보는 것 등등…을 예로 들 수 있어요.

자, 이제 Ring R 을 가지고 Spec R 을 정의해 주실 용자는 없는가 분?

오늘의 교훈 : 땅의 성질이 궁금하다고 땅에 삽을 대는 것은 삽질이예요. 땅을 사랑해도 적당히 사랑하도록 해요.

잡담: 영화 ‘박사가 사랑한 수식’의 명대사-수학과 가장 닮은 것은 농업-에다, 콩 심은 데 콩 나고 팥 심은 데 밭 나는 얘기를 하고 있으니, 정말 수학과 농업은 비슷하다는 생각이 들어요. 중요성에 비해 푸대접을 받는 것도 비슷하군요. 아, 이 기회에 필명을 농촌 총각으로 바꿀까요? 자, 이제 농촌총각 장가보내기 운동을 펼쳐주세요<